Activité ajoutée par Sciences Infuses le 26 juillet 2012.
Objectifs
Dans cette activité, les élèves vont pouvoir constater que l'on peut calculer avec le binaire. Comme avec le système décimal, on peut multiplier, sommer, etc... Ils vont donc comprendre la manière dont l'ordinateur manipule les nombres.
Mise en place
L'activité se déroule en classe, à l'aide de feuilles d'exercices.
Introduction
Réaliser un calcul écrit en binaire peut avoir beaucoup d'avantages pour un élève qui apprend le calcul écrit en décimal. Ca lui permet de comprendre plus facilement le concept de repport, et le déroulement de la procédure de calcul écrit en général. Cette partie va donc vous éclairer sur la manière dont la somme de nombres binaires peut être réalisée.
binaire VS. décimal
Il est important d'avoir compris qu'à la manière des nombres décimaux, les nombres binaires ont eux aussi leur "dizaine", "centaine", etc. (on pourrait dire des "deuzaines", "quatraines", etc). Ainsi donc, dans le nombre 101, on a le 1 tout à droite qui est l'unité, le 0 du milieu qui est la "dizaine" et le 1 tout à gauche qui est la "centaine".
Exemple
Afin de voir le parallèle entre le calcul écrit pour nombres décimaux, et celui pour nombres binaires, on va d'abord réaliser un calcul décimal, et ensuite un calcul binaire.
Pour ce qui est du calcul décimal, prenons 234 + 567 par exemple. On réalise tout d'abord la somme des unités: 7 + 4 = 11. 11, c'est donc une unité, on note 1 en dessous (là où se trouvera le résultat) et une dizaine que l'on reporte en indiquant 1 au dessus dans la colonne des dizaines. On somme ensuite les dizaines: 3 + 6 = 9 mais il ne faut pas oublier le report 1 (qu'on avait obtenu avant lorqu'on sommait les unités), ce qui donne 10 dizaines, c'est-à-dire 0 dizaines et 1 centaine. On note donc 0 en dessous dans la colonne des dizaines et on reporte 1 au dessus dans la colonne des centaines. Et finalement, on réalise la somme des centaines: 2 + 5 = 7 mais il ne faut pas oublier le report 1, ce qui donne 8 centaines. On note donc 8 en dessous. Il n'y a plus rien dans la colonne suivante, on a fini le calcul et on obtient 801 comme résultat.
Le calcul écrit en binaire est exactement le même, à l'exception du fait que l'on ne reporte plus quand on a 10 éléments, mais dès qu'on a 2 éléments. Réalisons donc la somme 101 + 111. On commence par sommer les unités: 1 + 1 = 2, mais 2 c'est 0 unité et 1 "deuzaine". On note 0 en dessous et on reporte 1 au dessus dans la colonne suivante. Ensuite, on somme les "deuzaines": 1 + 0 = 1 mais il ne faut pas oublier le report 1, ce qui donne 2 "deuzaines". Mais 2 "deuzaines", c'est 1 "quatraine". On note donc 0 en dessous et on reporte 1 dans la colonne suivante. Ensuite, on somme les "quatraines": 1 + 1 = 2 mail il ne faut pas oublier le report 1, ce qui donne 3 "quatraines". Mais 3 "quatraines", c'est 1 "huitaines" et 1 "quatraines". On note donc 1 en desssous et on reporte 1. On passe finalement aux "huitaines", 0+0=0 avec le report 1, cela donne 1. On note donc 1 en dessous et il n'y a pas de report. Il n'y plus rien dans la colonne suivante, on a fini le calcul et on obtient 1100.
Comme vous pouvez le constater, la manière de faire le calcul est la même, et est simplifiée par le fait que l'on ne considère que des 1 et des 0! On ne doit pas retenir toutes les additions possibles 1+8, 7+5,... mais uniquement 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 et on ajoute ensuite le report qui n'est jamais que de 0 ou de 1.
Objectifs
Cet exercice va permettre aux élèves de réaliser une addition en calcul écrit en binaire.
Le système est le même en binaire que dans notre système décimal. Cela permet aux élèves de revisiter, de confirmer leur bonne compréhension de l'addition écrite dans le système décimal. Au niveau de l'informatique, réaliser cette opération simple montre eux élèves qu'on peut faire les mêmes opérations en binaire que celles qu'ils connaissent dans le système décimal. Les ordinateurs sont donc capables d'additionner, de multiplier, de diviser, etc.. c'est à dire de manipuler les nombres.
Exemple plus précis: addition
Addition écrite en binaire:
1/ On aligne les deux nombres à additionner, colonne par colonne.
2/ On commence à droite car il va peut-être falloir faire des reports.
3/ Dans une colonne. Soit on a deux 0, 0+0=0, le résultat est donc 0. Soit on a un 1 et un 0, 1+0=1, le résultat est donc 1. Soit on a deux 1, 1+1=2, on a donc deux éléments, en binaire, on passe à la colonne suivante dès qu'on a deux éléments. Il faut donc reporter un 1 dans la colonne suivante et on indique 0 en dessous comme résultat. Si on a un report en plus, on peut obtenir 1+1+1=3, on a déplacé les 2, on doit donc avoir un report en binaire et il reste 1 indiquer en dessous.
On voit donc qu'il y a beaucoup moins de cas qu'en système décimal, ce qui simplifie la compréhension sans se perdre dans des problèmes annexes comme 6+7, ça fait combien encore. Si l'élève se perd dans ces "sous-problèmes", il aura des difficultés pour se concentrer sur le principe du report. Le fait de n'avoir que des 0 et des 1 simplifie la chose en binaire.
Exemple plus précis: multiplication
On peut imaginer de prolonger l'activité par la soustraction écrite. On peut aussi traiter de manière similaire la multiplication écrite qui est beaucoup plus simple de nouveau en binaire car il ne faut pas connaître les nombreuses tables. Si on fait x1, on prend en décalant dans la colonne où se trouve ce 1, si on fait fois 0, on ne prend pas, on met 0.
101 = 5 x 1 = 1
- - - - - 101 = 5 101 = 5 x 0 = 0
- - - - - 000 = 0 101 = 5 x 10 = 2
- - - - - 000 = 0 +101 = 10
- - - - - 1010 = 10
On a "000 = 0" pour la multiplication par le 0 et "+101 = 10" pour la multiplication par le 1, on a décalé car le 1 n'est pas dans la 1e colonne.
101 = 5 x 100 = 4
- - - - - 10100 = 20 101 = 5 x 11 = 3
- - - - - 101 = 5 + 101 = 10
- - - - - 1111 = 15
On a "101 = 5" pour la multiplication par le 1 de la colonne de droite et "+ 101 = 10" pour la multiplication par le 1 de la colonne de gauche.
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